Art et maths #3

Chaque année, j’essaie de publier un article consacré aux maths. Pour cela, il me faut une bonne occasion et un sujet pas trop théorique, de préférence associé à des objets qui sortent de l’ordinaire, voire des objets qui émeuvent, de l’Art en un mot. Retrouvez les deux précédents billets en lien avec cette thématique ICI et LA.

J’ai eu cette opportunité le 5 juin dernier en assistant à la conférence Grand Public organisée par La SMF (Société Mathématique de France) à l’occasion de leur 2e congrès (cette année à Lille).

Un des grands pans des mathématiques concerne la géométrie : une discipline qui plaît assez bien, car on y voit beaucoup d’applications dans notre quotidien. Les architectes par exemple ont sans cesse besoin de mettre en oeuvre des surfaces, des volumes et travaillent avec des objets mathématiques connus ou moins connus mais qui en général, séduisent l’œil -ou interrogent- lorsque cela sort des sentiers battus.
Dans la nature aussi, les surfaces se déploient dans l’espace pour résoudre un certain nombre de contraintes (capturer la lumière pour les feuilles des plantes vertes, ou minimiser l’énergie ou les besoins en matière première).

Vincent Borrelli, Maître de conférences à Lyon, Université Claude Bernard, nous a présenté une très passionnante conférence sur des défis mathématiques et des objets stupéfiants (par leurs propriétés originales) qui en découlent. Sa thématique : la sphère, objet du quotidien bien connu !

Vincent Borrelli et une sphère « particulière »

Le ruban de Mobius
On a commencé par parler du ruban de Möbius, connu de tous (ou presque). Imaginez une bande de papier (ou tout autre matériau un peu souple). Vous associez ensuite de façon définitive l’une des extrémités de la bande avec l’autre extrémité mais attention, vous avez effectué une torsion avant l’assemblage. Vous obtenez alors une surface assez particulière : le ruban de Mobius.

Cet objet est assez remarquable car il ne possède qu’un seul bord (en passant le doigt sur l’arête, on fait complètement le tour de l’objet) et qu’une seule surface (qu’on a coutume de visualiser par l’expérience d’une fourmi imaginaire qui se déplacerait sur le ruban et reviendrait à sa place initiale après un certain temps, en ayant parcouru l’intégralité du ruban).

Il s’agit d’un objet unilatère !

August Ferdinand Möbius est un mathématicien allemand du XIXe siècle qui a donné son nom à cet objet

En suivant la surface, on parcourt à la fois l’intérieur et l’extérieur

Pour terminer, savez vous qu’il existe des objets « naturels » dont la géométrie est celle du ruban de Möbius ? En Californie, par exemple, une formation rocheuse au sein des Alabama Hills a été baptisée « Möbius Arch » étant donnée sa forme torsadée générée par l’action érosive du vent et de l’eau.

La bouteille de Klein

En lien avec le ruban de Möbius, on a également parlé, lors de cette conférence, de la bouteille de Klein.
En effet, imaginez-vous qu’on parvienne à coller deux rubans de Möbius le long de leur bord, qu’obtient-on ? Une surface fermée sans bord, décrite en 1882 par Felix Klein (un autre mathématicien allemand). Voici de quoi il s’agit.

Bouteille (ou surface) de Klein (l’objet se traverse lui-même)

Bouteille de Klein

Recoller deux points opposés d’une sphère : la surface de Boy

Toujours en lien avec le ruban de Möbius, voici un autre défi. Peut-on recoller le bord d’un ruban de Möbius au bord d’un disque ? C’est totalement impossible. C’est du moins ce qu’affirmait David Hilbert (autre mathématicien allemand qui a posé un certain nombre de problèmes mathématiques à solutionner au début du XXe siècle) ! Mais c’était sans compter sur la perspicacité son propre élève Werner Boy, qui relève le défi en 1902 et imagine bel et bien une telle surface : c’est la surface de Boy qui résulte de l’addition d’un ruban de Möbius et d’une calotte. Voici une animation (les points d’une même couleur doivent se superposer).

Quel lien avec la sphère ?
En fait, la surface de Boy est également la solution au défi suivant « comment recoller deux à deux les points de la sphère situés à des antipodes ? »

Le retournement de la sphère

Maintenant voici un autre défi : soit une sphère creuse, donc avec une surface intérieure et une surface extérieure, comment retourner la sphère pour que l’intérieur s’échange avec l’extérieur ? Une contrainte supplémentaire concerne le fait que le retournement n’autorise aucune arête vive (pas de pointes, ni de plis).
Est-ce possible ou non ?

Stephen Smale (mathématicien américain, médaille Field en 1966) énonce en 1958  un théorème (démontré donc) indiquant qu’il est toujours possible de trouver une suite de déformations continues et autorisant les surfaces à pouvoir se traverser, permettant de retourner la sphère. Mais son directeur de recherche de l’époque (Raoul Bott) n’est pas du tout convaincu. Pourtant son poulain a bel et bien vu juste. Alors comment le visualiser le retournement prévu par S. Smale ?

Bien sûr, coincés par notre imaginaire un peu trop restrictif, on s’essaie sans succès à telles transformations. On y est presque lorsqu’on pousse un des hémisphères vers l’intérieur, il traverse l’hémisphère opposé mais…

… on se retrouve avec un bourrelet équatorial dont on ne peut se défaire 😉

En fait, bon nombre de mathématiciens se sont attaqués à l’affaire et plusieurs ont proposé des solutions concrètes et visualisables sur la façon de procéder : Arnold Shapiro et Bernard Morin- mathématicien français- y parviennent en 1980 en passant par l’intermédiaire d’une surface de Boy… John Sullivan (1998) utilise la stratégie de la minimisation de l’énergie, Arnaud Chéritat (2017) qui s’amuse à l’exercice via des déformations des latitudes.

Ci-dessous une vidéo explicative mais bon les déformations vont très vite, permettent d’arriver au résultat souhaité mais cela reste complexe à comprendre pour des néophytes. Je retiendrai de magnifiques surfaces créées.

La réduction de la sphère

Pour terminer la conférence, il a été question, du défi de la réduction de la sphère. Comment déformer une sphère sans l’étirer ni la contracter (la déformation doit aussi conserver les distances), sans coin, ni arête de façon à réduire sa taille ?
Concrètement, c’est par exemple le défi posé par une balle de ping-pong à faire entrer à l’intérieur d’un dé à coudre.

Le mathématicien américain John Nash a prouvé une telle possibilité par la formulation mathématique : c’est le théorème du plongement.
C’est d’ailleurs sur ce défi que travaille l’équipe de Vincent Borrelli, à travers le projet Hévéa (Université Lyon Grenoble). C’est en Juillet 2017 que l’équipe publie la stratégie utilisée pour relever le défi : une décomposition de la sphère en 3 parties (deux calottes et une bande équatoriale), la bande équatoriale subit une série de plissements périodiques d’amplitude et de direction bien choisies.

Vincent Borrelli et l’équipe du projet Hevea

Voilà un bien beau projet qui génère de somptueuses images… C’est de l’art à n’en point douter.

Source Hevea Project Crédits : E. Bartzos, V. Borrelli, R. Denis, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert.

Source Hevea Project Crédits : E. Bartzos, V. Borrelli, R. Denis, F. Lazarus, D. Rohmer, B. Thibert.

 

 

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